Diplomat Ahmet Naci Kenter ve Olga Cynthia'nın oğlu olarak 1932 yılında İstanbul'da dünyaya geldi. 1947'de Ankara Devlet Tiyatrosu Çocuk bölümünde tiyatroya başladı. Ankara Devlet Konservatuvarı Tiyatro Bölümü'nde eğitim gördü; okulu 1955 yılında yüksek derece ile bitirdi ve devlet tiyatrosuna girdi. Sanat yaşamı, devlet tiyatrosunda oynadığı Oğuz Ata oyunu ile başladı.
Müşfik Kenter, 1959 yılında Devlet Tiyatrosu'ndan ayrıldı ve İstanbul'a giderek kardeşi Yıldız Kenter ile beraber Muhsin Ertuğrul ile çalıştı. Birlikte Küçük Sahne'de oyunlar sergilediler. Şükran Güngör ve Kamuran Yüce ile bu dönemde biraraya geldiler ve dörtlü olarak birlikte uzun yıllar tiyatro yaptılar.
1960-1961 yılları arasında Site Tiyatrosu'nu kurdular. 1962'de adını Kent Oyuncuları olarak değiştirdiler. İki kardeş ve Şükran Güngör, 1968'de İstanbul'da Kenter Tiyatrosu'nun binasının inşaatını tamamladılar. Tiyatroyu yapmaları için tüm paralarını ortaya koymaları, büyük bir turne ile Anadolu'yu gezmeleri ve bir koltuk satma kampanyası ile destek toplamaları gerekmişti. Seyircilerin pek anlamayacağı düşünülen oyunları sahnelemekten çekinmediler.
İngiliz Kültür Heyeti ve Rockefeller'den burslar alarak Amerika ve İngiltere'de tiyatro araştırmaları yapan ve incelemelerde bulunan Kenter, İngiltere, Amerika, Fransa, Almanya, Yugoslavya, Kıbrıs gibi bir çok ülkede oyunlar sergiledi.
Murathan Mungan'ın Orhan Veli şiirlerinden düzenlediği Bir Garip Orhan Veli isimli tiyatro oyunu 25 seneden fazla süredir sergilemektedir. Bu oyun aynı oyuncuyla Türkiye'de en uzun süreli sergilenen eserlerden biridir.
Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı`ndan emekli olduktan sonra, Haliç Üniversitesi Konservatuvarı Tiyatro Bölümü Başkanlığı ve Bakırköy Belediyesi Şehir Tiyatrosu Genel Sanat Yönetmenliği görevlerinde bulundu.
Sanatçı, tiyatro oyunculuğunun yanı sıra sinema oyunculuğu da yaptı. 1966 Antalya Film Festivali'nde, Bozuk Düzen filmiyle "en iyi yardımcı erkek oyuncu" ödülünü kazandı. Yerli, yabancı TV filmlerinde, belgesel ve reklamlarda seslendirme yaptı. Mehlika Kenter ve Gülsüm Kamu ile evlenip ayrıldı. Son evliliğini Kadriye Kenter'le yaptı.
Kenter, 15 Ağustos 2012 tarihinde saat 16:30'da akciğer kanseri nedeni ile tedavi gördüğü hastanede öldü.
Müşfik Kenter, 1959 yılında Devlet Tiyatrosu'ndan ayrıldı ve İstanbul'a giderek kardeşi Yıldız Kenter ile beraber Muhsin Ertuğrul ile çalıştı. Birlikte Küçük Sahne'de oyunlar sergilediler. Şükran Güngör ve Kamuran Yüce ile bu dönemde biraraya geldiler ve dörtlü olarak birlikte uzun yıllar tiyatro yaptılar.
1960-1961 yılları arasında Site Tiyatrosu'nu kurdular. 1962'de adını Kent Oyuncuları olarak değiştirdiler. İki kardeş ve Şükran Güngör, 1968'de İstanbul'da Kenter Tiyatrosu'nun binasının inşaatını tamamladılar. Tiyatroyu yapmaları için tüm paralarını ortaya koymaları, büyük bir turne ile Anadolu'yu gezmeleri ve bir koltuk satma kampanyası ile destek toplamaları gerekmişti. Seyircilerin pek anlamayacağı düşünülen oyunları sahnelemekten çekinmediler.
İngiliz Kültür Heyeti ve Rockefeller'den burslar alarak Amerika ve İngiltere'de tiyatro araştırmaları yapan ve incelemelerde bulunan Kenter, İngiltere, Amerika, Fransa, Almanya, Yugoslavya, Kıbrıs gibi bir çok ülkede oyunlar sergiledi.
Murathan Mungan'ın Orhan Veli şiirlerinden düzenlediği Bir Garip Orhan Veli isimli tiyatro oyunu 25 seneden fazla süredir sergilemektedir. Bu oyun aynı oyuncuyla Türkiye'de en uzun süreli sergilenen eserlerden biridir.
Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı`ndan emekli olduktan sonra, Haliç Üniversitesi Konservatuvarı Tiyatro Bölümü Başkanlığı ve Bakırköy Belediyesi Şehir Tiyatrosu Genel Sanat Yönetmenliği görevlerinde bulundu.
Sanatçı, tiyatro oyunculuğunun yanı sıra sinema oyunculuğu da yaptı. 1966 Antalya Film Festivali'nde, Bozuk Düzen filmiyle "en iyi yardımcı erkek oyuncu" ödülünü kazandı. Yerli, yabancı TV filmlerinde, belgesel ve reklamlarda seslendirme yaptı. Mehlika Kenter ve Gülsüm Kamu ile evlenip ayrıldı. Son evliliğini Kadriye Kenter'le yaptı.
Kenter, 15 Ağustos 2012 tarihinde saat 16:30'da akciğer kanseri nedeni ile tedavi gördüğü hastanede öldü.